Question

如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x，y轴上，点0在OA上，且CD=AD，
（1）求直线CD的解析式；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）根据D的坐标是（3，O），点C的坐标是（0，4），代入解析式即可得出直线CD的解析式为y=kx+b，求出即可；
（2）利用B、C，D三点坐标分别为（8，4），（0，4）．（3，O），得出抛物线解析式求出即可；
（3）由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大，进而得出答案即可．
【解析】
（1）设OD=x，则CD=AD=8-x．
∴（8-x）2-x2=16．
∴x=3，D的坐标是（3，O），
又点C的坐标是（0，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
于是有，
∴y=-x+4．

（2）由题意得B、C，D三点坐标分别为（8，4），（0，4）．（3，O），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c
则有
于是可得抛物线解析式为：y=x2-x+4．

（3）在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．
理由是：由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大．
由y= x2- x+4= （x-4）2- 可得，顶点坐标为（4，- ）．
则△PBC的高为4+|-|=．
∴△PBC的面积为×8×= 小于矩形ABCD的面积为4×8=32．
故在x轴下方且在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．