Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变化，说明理由．
（2）如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，请你求出sin∠DEA的值．

Answer

（1）首先利用平移的性质得出CF=AD，CF∥AD，即可得出S梯形CDBF=S△ABC求出即可；
（2）首先利用CD∥BF，FC∥BD，得出四边形CDBF是平行四边形，再利用CB⊥DF即可得出四边形CDBF是菱形；
（3）利用三角形面积得出DH的长，再利用锐角三角函数关系得出sin∠DEA的值即可．
【解析】
（1）它的面积不变，
理由：过C点作CG⊥AB于G，
∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），
∴CF=AD，CF∥AD，
在Rt△AGC中，
∵sin60°=，
∴
∵AB=2，
∴S梯形CDBF=S△ABC=；

（2）四边形CDBF的形状为：菱形，
理由：∵CD∥BF，FC∥BD，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四边形CDBF是菱形；

（3）解法一：过D点作DH⊥AE于H，
则S△ADE=
又S△ADE=，
DH===，
∴在Rt△DHE′中，sin∠DEA===；
解法二：∵△ADH∽△ABE，
即：
∴=，
∴sin∠DEA===．