Question

已知二次函数y=-x²+（m-1）x+m．
（1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求出顶点坐标并画出该函数图象；
（3）在（2）的条件下，观察图象，写出当y＜0时x的取值范围．

Answer

（1）令y=0得到关于x的方程，找出相应的a，b及c的值，表示出b2-4ac，整理配方后，根据完全平方式大于等于0，判断出b2-4ac大于等于0，可得出抛物线与x轴总有交点，得证；
（2）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛物线解析式，求出m的值，进而确定出抛物线解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象，如图所示；
（3）由图象可得出y＜0时x的范围．
（1）证明：令y=0，得到-x2+（m-1）x+m=0，
∵a=-1，b=m-1，c=m，
∴b2-4ac=（m-1）2+4m=（m+1）2，
又（m+1）2≥0，即b2-4ac≥0，
∴方程y=-x2+（m-1）x+m有实数根，
则该函数图象与x轴总有公共点；
（2）【解析】
∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），
∴把x=0，y=3代入解析式得：m=3，
∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
列表如下：

x -2 -1 1 2 3 4
y -5 3 4 3 -5

描点；
画图如下：

（3）由图象可得：当y＜0时，x的范围为x＜-1或x＞3．