Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB=∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB=30°，AB=1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．

Answer

（1）如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．欲证直线AD与⊙O相切，只需证明AO⊥AD即可；
（2）如图2，连接AO、BO．利用圆周角定理证得△AOB为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为60°；②当求优弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为300°；
（3）①如图3，过点O作OM1⊥BC．AC为⊙O的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知OM1=AB=1；
②如图3，过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，利用切线的性质、垂径定理可知OM2=OC=AB=．
【解析】
（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AM是⊙O直径，
∴∠ABM=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠AMB+∠MAB=90°（直角三角形的两个锐角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB，且∠ACB=∠AMB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAB+∠MAB=90°，即AO⊥AD；
又∵直线AD经过半径OA的外端点A，
∴直线AD与⊙O相切．

（2）连接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB=30°，∴∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∵AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=1
==，或者==；

（3）2或1．
作直径AC，则∠ABC=90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OM=AB=，
则当AC是直径时满足条件，此时AC=2；
过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，垂径定理可知OM2=OC=AB=．则△AOC是等边三角形．
则AC=OC=1．