Question

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学发现，在如图1-1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程______．

（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2-1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2-2），这样能得到∠B′GC的大小，你知道∠B′GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△ABC，其中BA=BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3-2．已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：
如图4-1，已知AA′=BB′=CC′=2，∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°，请利用图形变换探究S_△AOB′+S_△BOC′+S_△COA′与的大小关系．

Answer

（1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC而得出结论；
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，从而△BB'C为等边三角形．就可以求出∠B'CB=60°；
（3）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，由BA=BC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI，由勾股定理就可以求出HR2=a2，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论；
（4）将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．由条件可以得出△AQR为等边三角形，由等边三角形的性质就可以求出△AQR的面积为，从而就可以得出结论．
【解析】
（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
故答案为：将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC．
（2）如图2-2-1，连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，
∴BB'=B'C，由翻折可得，
∴B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
∴∠B'CG=30°，
∵∠GB′C=90°，
∴∠B'GC=60°；
（3）如图3-1-1，分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
∵BA=BC，根据平移变换的性质，
∴△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI，GR=EQ=CP=0.5a，DP=FQ=HR．
∵AC=a，
∴AI=4a．
∵AH=AI，
∴AH=4a，AR=3.5a．
∴AH2=16a2．
在Rt△AHR中，AH2=HR2+AR2，
16a2=HR2+a2，
HR2=a2，
∴DP2=FQ2=HR2=a2，
在Rt△ADP和Rt△AFQ中，由勾股定理，得
AD2=AP2+DP2=6a2，AF2=AQ2+FQ2=10a2，
∴AH2=AD2+AF2，
∴新三角形为直角三角形，
∴新三角形三边长为4a、a、a．
其面积为：a×a=a2．
∵a2＜15，
∴a2＜15
∴a的最大整数值为3．
（4）如图4-1-1，将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，
将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQS．连接PQ，
∵QR+PR=OC+OC'，
∴Q、R、P三点共线．
∵OQ=OA+AQ=OA+OA'=AA'=2，OP=OB'+B'P=OB'+OB=BB'=2．且∠QOP=60°，
∴△OPQ为等边三角形．
∴PQ=OQ=OP=2．
∵RP=OC′，QS=OC，
∴RP+QS=OC′+OC=CC′=2=PQ，
∴R、S重合．
∴S△QOP=，
∵S△AOB+S△BOC+S△COA=S△AOB+S△B'PR+S△PQA＜S△OPQ，
∴S△AOB+S△BOC+S△COA＜．