Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，
（1）求证：CD是⊙O的直径；
（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；
（3）当AB=，BC=6时，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）根据垂直定义得出∠DEC，根据圆周角定理求出即可；
（2）根据圆的切线求出∠BED=∠OEC=∠C，根据直角三角形斜边性质求出BE=CE，求出∠C=∠EBC，根据三角形内角和定理求出∠C即可；
（3）求出AC，CE，根据解直角三角形求出CD，得出圆的半径，求出∠EOC，根据扇形的面积求出扇形的面积，求出△OEC的面积，相减即可．
（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，
∴∠CED=90°，
∴CD是⊙O的直径；

（2）【解析】
连接OE，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∵若BE是⊙O的切线，
∴BE⊥OE，
∠BED+∠DEO=∠DEO+∠OEC=90°，
∴∠BED=∠OEC，
∵BE是Rt△ABC斜边中线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C=∠OEC，
在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO=180°，
∴∠C=30°．

（3）【解析】
∵AB=2，BC=6，
∴tanC=，∠C=30°，AC=2AB=4，
∴EC=2，
∵cos∠C=，
∴cos30°=，
∴CD=4，
∴OC=CD=2，
∵∠C=∠CEO=30°，
∴∠COE=120°，
∴扇形OEC的面积为=π，
作OF⊥EC，垂足是F，
∵∠C=30°，
∴OF=OC=1，
∴△OCE的面积为×2×1=，
即阴影部分的面积为π-．