Question

正方形ABCD边长为4，点E是边AB上的动点（点E不与A、B重合），线段DE的垂直平分线和边AD、BC分别交于点F、G，和DE交于点H．
（1）直接写出∠GFD的范围（用不等式表示，不必说明理由）；
（2）求证：FG=DE；
（3）设AE=x，四边形AFGB的面积为y，当x为多少时，y的值最大？此时y的最大值是多少？

Answer

（1）当点E在A处时，AD与ED重合，FG垂直平分ED，就有∠GFD=90°，当点E与点B重合时，FG垂直平分ED，根据正方形的性质可以得出∠GFD=∠CAD=45°，从而可以得出结论；
（2）过点F作FN⊥BC于N，可以得出四边形ABNF是矩形，就有FN=AB=AD，进而得出∠AED=∠BGF，再通过证明△AED≌△NGF就可以得出结论；
（3）连接EF，设AF=a，那么EF=DF=4-a，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即：a2+x2=（4-a）2，就可以求出a=，再根据梯形的面积公式就可以表示出y的关系式，从而可以求出结论．
【解析】
（1）当点E在A处时，AD与ED重合，FG垂直平分ED，就有∠GFD=90°，
当点E与点B重合时，ED与BD重合，FG垂直平分ED，就是FG垂直平分BD，
则∠GFD=∠CAD=45°，
∵点E不与A、B重合，
∴45°＜∠GFD＜90°；

（2）过点F作FN⊥BC于N，
则∠BNF=∠FNG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD．
∴四边形ABNF是矩形，
∴FN=AB=AD，
∵ED⊥FG，
∴∠EHG=90°，
∴∠EHG+∠B=180°．
∵四边形BEHG的内角和是360°，
∴∠BED+∠BGH=180°．
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠AED=∠BGF，
∵∠A=∠FNG=90°．
∵在△AED和△NGF中，
，
∴△AED≌△NGF（AAS），
∴DE=FG，AE=NG；

（3）如图，连接EF，设AF=a，
∴FD=4-a．
∵FG垂直平分ED，
∴EF=FD，
∴EF=4-a．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AE2+AF2=EF2，
∴a2+x2=（4-a）2，
∴a=．
∵AF≤BG，即点N在线段BG上，且AE=x，
∴BG=BN+GN=x+，
∴y=（AF+BG）×AB=2（+x+），
=-x2+2x+8，
=-（x-2）2+10（0＜x＜4）．
∴当x=2时，y有最大值，最大值是10．