Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴上，顶点A落在反比例函数（m≠0）的图象上．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与该反比例函数的图象交于A、D两点，与x轴交于点E．已知AO=5，S_菱形OABC=20，点D的坐标为（-4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接CA、CD，求△ACD的面积．

Answer

（1）作AF⊥x轴，垂足为F，根据S菱形OABC=20，求出AO=OC=5，进而求出点A的坐标，反比例函数的图象经过点A，求出m的值，求出D点坐标，一次函数y=kx+b的图象经过A、D两点，待定系数法求出k和b的值．
（2）对一次函数为y=x+1，当y=0时，x=-1，求出E点坐标，进而CE的长，根据S△ACD=S△ACE+S△DCE求出面积的值即可．
【解析】
（1）作AF⊥x轴，垂足为F．
∵S菱形OABC=OC•AF=20，AO=OC=5，
∴AF=4，
∴Rt△AOF中，，
即A（3，4），
∵反比例函数的图象经过点A，
∴m=3×4=12，
∴该反比例函数为，
∵当x=-4时，，
∴D（-4，-3），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、D两点，
∴，解得，
∴该一次函数为y=x+1；

（2）∵一次函数y=x+1，当y=0时，x=-1，
∴E（-1，0），
∴CE=OC-OE=5-1=4，
∴S△ACD=S△ACE+S△DCE=CE•|yA|+CE•|yD|=×4×4+×4×3=14．