Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．
【解析】
（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，
∴四边形AGHD为矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；

（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，
∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，
∴NR=t，
∴S==；
如图3，当3＜t≤4时，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=t+2，
∴S==2t+4；
如图4，当4＜t≤7时，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=，
∴S=+=；
如图5，当7＜t≤8时，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=+=-t2+22；
∴S=；

（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，
则EF=EQ=PQ-EP=4-，
①如图6，当EF=EP时，4-t=t，
∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
∴ER=EP=EF，
∴，
∴t=；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
∵ES=EF=PE，
∴（4-t）=，
∴t=．
∴当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．