Question

如图，点P为正方形ABCD边CD上一点，点E在AP的延长线上，DE=DA，∠EDP的平分线交EP于点F，过点A作FD的垂线交FD的延长线于点G．
（1）求证：EF=DG；
（2）连接BD交AP于点H，BH：HD=4：3，连接CE，若△CDE的面积为7，求DG长．

Answer

（1）首先证明△AGD≌△DIE，进而得出GD=IE，再利用正方形的性质得出∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，即可得出答案；
（2）首先证明△ABH∽△PDH得出==，进而得出△ADP∽△ENP，利用=，得出NE=x，由△CDE的面积为7，求出x，即可得出DG的长．
（1）证明：如图1，
过点E作EI⊥GF于点I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分线交EP于点F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中
，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=IE，
∴EF=DG；

（2）【解析】
如图2，过点D作DM⊥AP于M，过点E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴==，
设DP=3x，则AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP==5x，
∵S△ADP==，
∴DM=x，
∴在Rt△DMP中，MP=x，
∵tan∠DAP=，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=x，
∴EF=x-x=x，PE=x-x=x，
∵∠ADP=∠ENP=90°，∠APD=∠EPN，
∴△ADP∽△ENP，
∴=，
∴NE=x，
∵△CDE的面积为7，
∴=7，
∴=7，
∴x=，
∴EF=，
∵EF=DG，
∴DG=1．