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如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF. (1...

如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
(1)证明BF是⊙O的切线;
(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.

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(1)根据OB=OC,可得∠BCO=∠CBO,再由FC=FB,得∠FCB=∠FBC,从而得出∠FBO=90°,即可证出结论; (2)由∠MCF+∠ACO=90°,∠M+∠A=90°,可得CF=MF,易证△ACB∽△ABM,则.由勾股定理求得BM,根据三角函数得出∠MCF的大小. 证明:连接OF. (1)∵CF⊥OC, ∴∠FCO=90°. ∵OC=OB, ∴∠BCO=∠CBO. ∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC. 即∠FBO=∠FCO=90°. ∴OB⊥BF. ∵OB是⊙O的半径, ∴BF是⊙O的切线(2分) (2)∵∠FBO=∠FCO=90°, ∴∠MCF+∠ACO=90°,∠M+∠A=90°. ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A. ∴∠FCM=∠M.(3分) ∵∠ACB=∠ABM=90°,∠A是公共角, ∴△ACB∽△ABM, ∴. ∵AB=4,MC=6, ∴42=AC(AC+6), ∴AC=2(4分) ∴AM=8,BM==. ∴cos∠MCF=cosM==. ∴∠MCF=30°(5分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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