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已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点...

已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),(1)中结论还成立吗?证明你的结论;
(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明:AB=4PD.
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(1)PO与BC的位置关系是平行; (2)(1)中的结论成立,理由为:由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO,再由OA=OP,利用等边对等角得到∠A=∠APO,等量代换可得出∠A=∠CPO,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB,再等量代换可得出∠COP=∠ACB,利用内错角相等两直线平行,可得出PO与BC平行; (3)由CD为圆O的切线,利用切线的性质得到OC垂直于CD,又AD垂直于CD,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行,根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP,再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP,等量代换可得出∠APO=∠AOP,再由OA=OP,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形AOP三内角相等,确定出三角形AOP为等边三角形,根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°,由OP平行于BC,利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°,再由OB=OC,得到三角形OBC为等边三角形,可得出∠COB为60°,利用平角的定义得到∠POC也为60°,再加上OP=OC,可得出三角形POC为等边三角形,得到内角∠OCP为60°,可求出∠PCD为30°,在直角三角形PCD中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半,而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半,可得出PD为AB的四分之一,即AB=4PD,得证. 【解析】 (1)PO与BC的位置关系是PO∥BC; (2)(1)中的结论PO∥BC成立,理由为: 由折叠可知:△APO≌△CPO, ∴∠APO=∠CPO, 又∵OA=OP, ∴∠A=∠APO, ∴∠A=∠CPO, 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角, ∴∠A=∠PCB, ∴∠CPO=∠PCB, ∴PO∥BC; (3)∵CD为圆O的切线, ∴OC⊥CD,又AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠APO=∠COP, 由折叠可得:∠AOP=∠COP, ∴∠APO=∠AOP, 又OA=OP,∴∠A=∠APO, ∴∠A=∠APO=∠AOP, ∴△APO为等边三角形, ∴∠AOP=60°, 又∵OP∥BC, ∴∠OBC=∠AOP=60°,又OC=OB, ∴△BCO为等边三角形, ∴∠COB=60°, ∴∠POC=180°-(∠AOP+∠COB)=60°,又OP=OC, ∴△POC也为等边三角形, ∴∠PCO=60°,PC=OP=OC, 又∵∠OCD=90°, ∴∠PCD=30°, 在Rt△PCD中,PD=PC, 又∵PC=OP=AB, ∴PD=AB,即AB=4PD.
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考点分析:
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观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,

以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52×______=______×25;
______×396=693×______
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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