Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S₁、被直线RQ扫过的图形面积为S₂，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=______；AC=______；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）设S₂=mS₁，求m的变化范围．

Answer

（1）首先过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，易证得四边形DBKC是平行四边形，可求得AK=4，由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC=CK，又由CE=2且是高，即可证得∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，继而求得∠AHB的度数，又由等腰直角三角形的性质，求得AC的长；
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解，注意当0＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；
（3）由（2）可得当0＜x＜时，m=4；当≤x≤2时，可得m═-36（-）2+4，然后利用二次函数的性质求得m的变化范围．
【解析】
（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，
∴BK=CD=，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3+=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴AE=EK=AK=2=CE，
∵CE是高，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK•cos45°=4×=4；
故答案为：90°，4；

（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．
①当0＜x＜时，
∵MN∥RQ，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG，
∴=4，
∴S2=4S1≠3S1；
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4-1=3，
∵CG=4-2x，AC⊥BD，
∴S△BCD=×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S△CRQ=2×（）2=8（2-x）2，
∵S梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S△ABD=AB•CE=×3×2=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴，
∴S1=x2，S2=8-8（2-x）2，
∵S2=3S1，
∴8-8（2-x）2=3×x2，
解得：x1=＜（舍去），x2=2，
∴x的值为2；

（3）由（2）得：
当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，m=3，
∵S2=mS1，
∴m===-+-12=-36（-）2+4，
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3，
∴m的变化范围为：3≤m≤4．