Question

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．
（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．

Answer

（1）根据点A、D的纵坐标相等可以得出AD∥OC，再根据两点之间的距离公式可以求出AO、AD和DC的值，从而得出结论；
（2）由条件可以求出△MOC是等边三角形，由等边三角形的性质可以耳朵出∠MOC=∠MCO=60°，由条件可以得出∠MPO=∠PQC，可以得出△OMP∽△CPQ，由相似三角形的性质可以求出结论；
（3）根据（2）的解析式可以求出y的最值，可以求出当x=2时，可以求出MQ的值，可以求出Q点运动路径长，当OP=3时，x=1，可以求出MQ的值，从而可以得出结论．
【解析】
（1）∵A（1，2）、D（3，2），
∴AD∥OC，
由两点间的距离公式可以求出OA=，DC=，
∴OA=DC．
∵AD=2，OC=4，
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形；
（2）∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴M（2，2），
由两点间的距离公式可以求出MO=MC=4．
∵OC=4，
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等边三角形，
∴∠MOP=∠QCP=60°．
∵∠MPQ=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3，
∴△OMP∽△CPQ
∴
∴（0≤x≤4）；
（3）∵，
∴，
∴x=2时，y最大=3  即MQ=3．
当OP=3时，x=1，y=即，MQ=，
∴当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1
当2＜x≤3时，Q点运动路径长为
∴当P点从O点运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长为个单位．