Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC于点H，AC⊥AB，BD平分∠ABC，分别交AH、AC于点E、F．
（1）求证：AE=AF；
（2）设AB=m，求：sin∠BAH的值．

Answer

（1）根据AC⊥AB，AH⊥BC，得出∠BAE=∠DAF，根据BD平分∠ABC，得出∠ABD=∠CBD，根据AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠ADB，从而证出AB=AD，最后根据ASA证出△BAE≌△DAF，即可得出AE=AF；
（2）先设BH=x，根据已知条件得出四边形AHCD是矩形，HC=AD，根据AB=AD，AB=m，得出HC=AB=m，根据∠BHA=∠BAC=90°，得出∠HBA=∠ABC，从而证出△HBA∽△ABC，=，再把AB=m，BH=x代入比例式，得出x2+mx-m2=0，求出x的值，最后根据sin∠BAH=，即可得出答案；
证明：（1）∵AC⊥AB，AH⊥BC于点H．
∴∠CAB=∠HAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△BAE和△DAF中，

∴△BAE≌△DAF，
∴AE=AF． 

（2）设BH=x，
∵AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC，
∴四边形AHCD是矩形，
∴HC=AD，
∵AB=AD，AB=m，
∴HC=AB=m，
∵DC⊥BC，AH⊥BC，
∴∠BHA=∠BAC=90°，
∵∠HBA=∠ABC，
∴△HBA∽△ABC，
∴=，
∴=，即x2+mx-m2=0，
∴x==，
∵x＞0，
∴x=m，
在Rt△ABH中，sin∠BAH==；