Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，cosB=，点G是△ABC的重心．动点E从点A出发沿着射线AG以每秒1cm的速度移动，动点F从点C出发沿着射线CA以每秒2cm的速度移动，点E和点F同时出发，设它们的运动时间为t（秒）．
（1）求点A到点G的距离；
（2）在移动过程中，是否存在以点G为圆心GE长为半径的圆与以点C为圆心CF长为半径的圆外切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）连接EF，在运动过程中，是否存在△AEF是等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AG并延长，交边BC于点H．根据G是重心得到AH平分边BC，再根据AB=AC得到AH⊥BC，然后解直角三角形ABH即可求解；
（2）由（1）得：GH=2，HC=BH=8，根据两圆相外切两圆的圆心距等于两圆半径的和列出有关t的方程求得t的值即可；
（3）分当点F在边AC上时和当点F在CA的延长线上时两种情况利用等腰三角形的性质列出有关t的方程求得t的值即可求解．
【解析】
（1）连接AG并延长，交边BC于点H．
∵G是重心，
∴AH平分边BC，AG=AH，
∵AB=AC
∴AH⊥BC．      
在Rt△ABH中，cosB=，
即=，
∴BH=8，
∴AH=6，
∴AG=4．       

（2）由（1）得：GH=2，HC=BH=8．
根据题意得：EG=|4-t|，CF=2t
∴rG=|4-t|，rC=2t
且圆心距CG===2．
当圆G与圆C外切时：rG+rC=CG，
∴|4-t|+2t=2，…（3分）
即：4-t+2t=2（t＜4）或t-4+2t=2（t＞4）
∴t1=2-4（舍），t2=
即当t=时两圆外切．           

（3）•当点F在边AC上时：
①如图1，当AE=AF时，t=10-2t，∴t1=．…（1分）
②如图2，当AF=EF时，过F作MF⊥AH于点M，
由MF∥HC，∴，∴，
∴t2=．…（1分）
③如图3，当AE=EF时：过点E作EM⊥AC于点M，
易证△AEM∽△ACH，∴AM：AE=AH：AC，
∴（10-2t）：t=3：5，∴t3=．…（1分）
•当点F在CA的延长线上时：
④如图4，只有AE=AF时，△AEF为等腰三角形，
∴t=2t-10，
∴t4=10．…（1分）
综上所述，当t=、、、10的时候，△AEF是等腰三角形．