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如图,在△ABC中,点E、D是AB、AC上两点,满足ED∥BC,ED=2,BC=...

如图,在△ABC中,点E、D是AB、AC上两点,满足ED∥BC,ED=2,BC=4,点M时ED的中点,△MBC是等边三角形.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)动点P、Q分别在线段BC、MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式.当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.

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(1)首先证明△EMB≌△DMC,则∠EBM=∠ECM可以得到:∠EBC=∠DCB,根据等角对等边即可证得△ABC是等腰三角形; (2)证明△BMP∽△CPQ,根据相似三角形的对应边的比相等,即可得到一个比例式,从而得到y与x之间的函数关系式,根据函数的性质即可求解. 【解析】 (1)由△BMC是等边三角形可知: ∠MBC=∠MCB=60°,BM=MC 又∵ED∥BC, ∴∠EMB=∠MBC;∠DMC=∠MCB ∴∠EMB=∠DMC 又∵点M平分ED, ∴EM=MD 则可证△EMB≌△DMC ∴∠EBM=∠ECM 则可得∠EBC=∠DCB ∴△ABC是等腰三角形. (2)由∠MPQ=60°, 可得∠BMP=∠CPQ 又∵∠MBP=∠MCP=60° ∴△BMP∽△CPQ ∴ ∴ ∴y=x2-x+4 当y取最小值时,x=2=PC 则点P是BC的中点 ∴MP⊥BC,而∠MPQ=60° ∴∠PQC=90°,则△PQC为直角三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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