Question

如图1，在△ACD中，AC=2DC，AD=DC．
（1）求∠C的度数；
（2）如图2，延长CA到E，使AE=CD，延长CD到B，使DB=CE，AB、ED交于点O．求证：∠BOD=45°；
（3）如图3，点F、G分别是AC、BC上的动点，且S_△CFG=S_{四边形AFGB}，作FM∥BC，GN∥AC，分别交AB于点M、N，线段AM、MN、NB能否始终组成直角三角形？给出你的结论，并说明理由．

Answer

（1）利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB与Q，根据在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行可得DP∥EQ从而得到△OPD和△OQE相似，设CD=x，分别表示出AC、BD、BC、DE，再求出DP、EQ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OD、OE的比再求出OD，最后根据∠BOD的正弦列式求解即可；
（3）延长FM、GN，交于点H，可得矩形CFHG，然后求出S△AFM+S△BGN=S△HMN，再根据△AFM∽△NGB∽△NHM利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出S△AFM：S△BGN：S△HMN=AM2：BN2：MN2，然后设S△AFM=kAM2，再表示出另两个三角形的面积，列式整理并利用勾股定理逆定理证明．
【解析】
（1）∵AC=2DC，
∴AC2+DC2=5DC2，
∵AD=DC，
∴AD2=5DC2，
∴AC2+DC2=AD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠C=90°；

（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB与Q，则DP∥EQ，
∴△OPD∽△OQE，
不妨设CD=x（x＞0），则AC=2x，BD=CE=AC+AE=2x+x=3x，BC=BD+CD=CE+CD=3x+x=4x，
DE===x，
在Rt△ABC中，AB===2x，
∴DP=BD•sin∠B=3x•=x，
EQ=AE•cos∠AEQ=AE•cos∠B=x•=x，
∴==，
∴OD=DE=，
∴在Rt△OPD中，sin∠BOD==，
∴∠BOD=45°；

（3）延长FM、GN，交于点H，可得矩形CFHG，
则S△HFG=S△CFG=S四边形AFGB，于是S△AFM+S△BGN=S△HMN，
而△AFM∽△NGB∽△NHM，
∵S△AFM：S△BGN：S△HMN=AM2：BN2：MN2，
设S△AFM=kAM2，S△BGN=kBN2，S△HMN=kMN2，（k＞0），
∴kAM2+kBN2=kMN2，即AM2+BN2=MN2，
故线段AM、MN、NB能始终组成直角三角形．