Question

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出此抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由与t的取值范围不能确定，故应分三种情况进行讨论，
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△OPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积；
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP，由梯形的面积公式即可求解；
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN，进而可求出答案；
（3）利用已知得出∠BAO=∠QPC，只要=或者=即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，进而求出即可；
（4）根据图形旋转的性质可求出将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°时P、Q两点的坐标，再根据抛物线的解析式即可求出t的值．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：，
解得：，
故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=-x2+x．

（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，
如图1．
在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．
∴OQ=PQ=t．
∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2（0＜t≤2）；
②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，
作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．
∴S=S梯形AOPE=（AE+OP）•AD=（t-2+t）×1
=t-1（2＜t≤3）；
③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，
重叠部分为五边形AOCFE，如图3．
∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-（t-3）=4-t
∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF，
=（2+3）×1-（4-t）2
=-t2+4t-（3＜t＜4）；

（3）连接QC，OB，
∵AB∥OC，
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=45°，∠OQP=90°，
∴∠QPO=45°，
∵∠QPO+∠QPC=180°，
∴∠BAO=∠QPC，
只要=或者=即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，
得出：3-t=×t 或3-t=×t
解得：t=2或t=；

（4）存在，t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时，=-×（t+）2+×（t+），
解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=-t2+t，
解得：t=1．