Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若，求CD的长．
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
（3）若将（2）中扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积．

Answer

（1）首先根据锐角三角函数求得直角三角形ABC的两条直角边，再根据勾股定理得出DE的长，进一步根据垂径定理计算弦长；
（2）可设∠ADO=4x，∠EDO=x，根据OA=OD，则∠OAD=∠ODA=4x，求出由AB垂直CD，得：4x+4x+x=90°，求出x，进而得出∠AOC的度数，利用扇形面积公式求出即可；
（3）根据圆锥的侧面积等于扇形OAC（阴影部分）的面积即可得出答案．
【解析】
（1）∵半径OD=5，则直径AB=10，
∴，则BD=6，
∴若设OE=x，则BE=5-x，由勾股定理可得：BD2-BE2=DO2-0E2
从而列方程：62-（5-x）2=52-x2，
解得x=，
由勾股定理可得：DE=，
由垂径定理可得CD=；

（2）∵∠ADO：∠EDO=4：1，则可设∠ADO=4x，∠EDO=x，
又∵OA=OD，则∠OAD=∠ODA=4x，
由AB⊥CD，得：4x+4x+x=90°，
∴x=10°，
∴∠ADE=50°，则∠AOC=100°，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积==π；

（3）∵圆锥的侧面积等于扇形OAC（阴影部分）的面积，
∴S侧=πrl=π．