Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据轴对称和角平分线的性质以及勾股定理可以求出OC的长度，从而求出点C的坐标．再根据直线的解析式求出A、B的坐标，最后利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式可以转化为顶点式而求出顶点坐标D，利用B、C的坐标求出BC的解析式，假设在直线BC上存在满足条件的点P，利用平行四边形的性质和三角形全等的性质求出点P的坐标，得到点P不在直线BC上，而得出结论．
（3）平移后根据（1）的解析式可以得到平移后的解析式，顶点坐标及对称轴，可以求出与坐标轴的交点F、N、E的坐标，连接EF，根据E、F的坐标求出其解析式，求出EF与对称轴的交点，就是Q点．
【解析】
（1）连接CH
由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
AC2=CH2+AH2
∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
设C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8-a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得
（8-a）2=a2+42解得
a=3
C（3，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得

解得：
∴抛物线的解析式为：
∴

（2）由（1）的结论，得
D（）
∴DF=
设BC的解析式为：y=kx+b，则有

解得
直线BC的解析式为：y=-2x+6
设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=
∴
×=
P（）
当x=时，
y=-2×+6=1≠
∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．

（3）由题意得，平移后的解析式为：

∴对称轴为：x=2，
当x=0时，y=-
当y=0时，0=
解得：
∵F在N的左边
F（，0），E（0，-），N（，0）
连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有

解得：
∴EF的解析式为：y=-x-
∴
解得：
∴Q（2，）．