Question

如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A．
①请证明：△ADE∽△FGE；②求出FG的长度；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）请直接写出，当重叠面积y在什么范围时，对应的平移距离x有两个值；当重叠面积y在什么范围时，相对应的平移距离x只有一个值？

Answer

（1）由题意易得CE=3，DE=2，AD=4，然后经过证明△EFG∽△AED，求得FB的值即可；
（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，二是x平移距离大于4时，分别求得解析式，把y=10分别代入两式，求得x的值，注意验证是否符合题意；
（3）当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等；0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．
【解析】
（1）①∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE===3，DE=CD-CE=5-3=2，
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED；
②∵由①知，△EFG∽△AED，
∴=，
∴BF=FG===10；

（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时（如图1），EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，
∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，
∴tanα===，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，得出FB=FG-BG=10-x，BP==，PQ=x，EQ=
∴重叠部分y=PB•BG+BG•EQ=+x×=-x2+5x，
二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，
∴y=PB•BC+PQ•RQ=+×4×2=24-2x；

（3）∵当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，
∴此时对应的平移距离x有两个值；
∵0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等，
∴此时对应的平移距离x有一个值．