Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法将B（3，0），C（0，3）两点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）利用点A、B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P，再利用△PHB∽△COB求出P点坐标即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过B（3，0），C（0，3）两点，
∴c=3，
-9+3b+3=0，解得b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则顶点M为（1，4）．

（2）如图1，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．
设对称轴与x轴交于点H，
∵PH∥y轴，
∴△PHB∽△COB．
∴．
由题意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．