Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边0A在x轴正半轴上，且OA=4，AB=2，将△OAB沿某条直线翻折，使OA与y轴正半轴的OC重合、点B的对应点为点D，连接AD交OB于点E．
（1）求AD所在直线的解析式：
（2）连接BD，若动点M从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线A0运动，线段AM的垂直平分线交直线AD于点N，交直线BD子Q，设线段QN的长为y（y≠0），点M的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接MN，当t为何值时，直线MN与过D、E、O三点的圆相切，并求出此时切点的坐标．

Answer

（1）求出A和D的坐标代入直线AD的解析式y=kx+b得出方程组，求出即可；
（2）把B和D的坐标代入直线BD的解析式y=ax+c得出方程组，求出即可，得出N、Q的横坐标，代入求出N、Q的纵坐标，即可求出y；
（3）分为两种情况：①当AM＜4时，画出图形，过D作DF⊥OA于F，则CD∥OF，CD=OF=2，求出∠OED=90°，得出OD为经过D、E、O三点的圆的直径，OD的中点O′为圆心．根据勾股定理求出OD=2，tan∠COD=，tan∠ODC=2，求出AD=2，AH=MH=t，根据勾股定理得出AN=t，推出=，证△OAD∽△OMN，推出MN∥OD，连接O′G，过G作GK⊥OA于点K，过M作MH⊥OD于点H，得出四边形O′HMG是矩形，起初G（3，1），根据OM+AM=OA，得出+2t=4，求出t；②当AM＞4时，同法能求出t的值．
（1）【解析】
∵△OAB≌△OCD，
∴OC=OA=4，AB=CD=2，
∴D（2，4），
∵直线AD过A（4，0）和D（2，4），
∴设直线AD的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=-2，b=8，
∴AD所在直线的解析式是y=-2x+8；

（2）【解析】
∵D（2，4），B（4，2），
∴设直线BD的解析式是y=ax+c
代入得：，
解得：a=-1，c=6，
∴直线BD的解析式是y=-x+6，
∵直线NQ垂直平分AM，
∴NH⊥AM，AH=HM=AM=×2t=t，
分为两种情况：①当0＜t＜2时，如图a，
∵OH=4-t，
∴H（4-t，0），
∴点Q、N的横坐标是4-t，
∴N的纵坐标是-2（4-t）+8=2t，
Q的纵坐标是-（4-t）+6=t+2，
∴NQ=（t+2）-2t=2-t，
即y=2-t（0＜t＜2）；
②当t＞2时，同法可求y=t-2，如图b

综合上述：y=；

（3）【解析】
分为两种情况：①当AM＜4时，如图c，
过D作DF⊥OA于F，则CD∥OF，CD=OF=2，
∵OA=4，
∴OF=AF=2，
∵DF⊥OA，
∴OD=AD，∠ODC=∠DOF=∠DAF，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠COD+∠AOD=90°，
∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90°，
∴OD为经过D、E、O三点的圆的直径，OD的中点O′为圆心．
∵在Rt△OCD中，OD2=CD2+OC2，
∴OD=2，tan∠COD=，tan∠ODC=2，
∴tan∠ODC=tan∠DOF=tan∠DAF=2，
∴AD=2，
∵AM=2t，
∴AH=MH=t，
∴在Rt△AHN中，由勾股定理得：AN=t，
∴==，==，
∴=，
∵∠OAD=∠MAN，
∴△OAD∽△OMN，
∴∠AOD=∠AMN，
∴MN∥OD，
连接O′G，过G作GK⊥OA于点K，过M作MH⊥OD于点H，
∵MN是⊙O′的切线，G为切点，
∴O′G⊥MN，
∴∠O′GM=∠OO′G=90°，
∵MH⊥OD，
∴∠O′BM=∠OHM=90°，
∴四边形O′HMG是矩形，
∴HM=O′G=，MG=O′H，
∵在Rt△OHM中，tan∠HOM=2，
∴OH=，OM=，
∴O′H=MG=，
∵在Rt△GKM中，tan∠GMK=2，
∴GK=1，MK=，
∴OK=3，
∴G（3，1），
∵OM+AM=OA，
∴+2t=4，
∴t=，
②当AM＞4时，如图d，同理可求当t=时，切点G（-1，3），
∴当t=或时，直线MN与过D、E、O三点的圆相切，切点分别为G（3，1）或（-1，3）．