Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）当点D是线段AC的中点时（如图1），求证：BF-DF=CF：
（2）当点D与点A重合时，在线段EF上取点G，使GF=DF，连接DG并延长交CF于点H，交 BC延长线相交于点P（如图2），CH：HF=4：5，EG=，求PH的长．

Answer

（1）过点C作CM⊥CF交BE于点M，可以证得△MCF是等腰直角三角形，则MF=CF，证明BF-DF=MF即可；
（2）首先证明△ECF∽△EBD，得到∠EFC=∠BDC，则可以证明△HFG∽△HDF，△HFG∽△HDF，根据CH∥BD，可以证得：△PCH∽△PBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得．
证明：（1）过点C作CM⊥CF交BE于点M．
∵∠BCM+∠ECM=∠DCF+∠ECM=90°，
∴∠BCM=∠DCM
∵∠CBM+∠CEM=∠FDC+∠FED=90°，
∴∠CEM=∠FED
∴∠CBM=∠FDC
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD，
∵AC=2BC
∴CD=BC
∴△CBM≌△CDF，
∴BM=DF，CM=CF，
∵∠MCF=90°，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠CMF=45°，
∴sin45°=，
∴MF=CF，
∵BF-BM=MF，
∴BF-DF=CF；
（2）设CH=4k，
∵CH：HF=4：5，
∴HF=5k，
∴∠BCE=∠DFE，∠CEB=∠FED，
∴△ECB∽△EFD，
∴=，
∴=，
∵∠CEF=∠BED，
∴△ECF∽△EBD，
∴∠EFC=∠BDC，
∵Rt△ACB中，tan∠BAC==，在Rt△GFD中，tan∠FDG==，
∴∠BDC=∠FDG=∠EFC，
又∵∠FHG=∠DHF
∴△HFG∽△HDF
∴===，
∴HG=k，DH=10k，
∴GD=k，
∴在Rt△GFD中，GF=k，DF=3k，
∴=
又∵∠HFD=∠DFC
∴△FHD∽△FDC，
∴∠FDH=∠FCD=∠BDC，
∴CF∥AB
∴∠FBD=∠BFC=∠FDH，
∴tan∠FBD=，
∴在Rt△FBD中，BF=6k，AB=15k，
∴EF=k+，BE=k-，
∴△CEF∽△BED，
∴=，即=，
∴k=，
∴HD=10k=2，
∵CH∥BD，
∴△PCH∽△PBD，
∴==，
∴=，
∴PH=．