Question

在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4，M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP⊥BC．
（1）证明：△CNP为等腰直角三角形；
（2）设NP=x，当△ABM≌△MPN时，求x的值；
（3）设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．

Answer

（1）过D做BC的垂线，设垂足为F，则DF=AB=3，而FC=BC-BF=3，即△DFC是等腰直角三角形，所以∠C=45°，因为NP⊥BC，所以△NPC是等腰直角三角形；
（2）当△ABM≌△MPN时，则BM=NP=PC=x，AB=MP=3，又因为MP=BC-（BM+PC）=4-2x，进而求出x的值；
（3）由题意可知四边形ABPN是直角梯形，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可求出y与x之间的函数关系式，由此可指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．
【解析】
（1）过D做BC的垂线，设垂足为F，
∵∠B=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DFB=90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AB=DF=3，AD=BF=1
∵BC=4，
∴FC=BC-BF=3，
∴DF=FC，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴NP⊥BC，
∴△NPC是等腰直角三角形；

（2）∵△ABM≌△MPN，
∴BM=NP=PC=x，AB=MP=3，
又∵MP=BC-（BM+PC）=4-2x，
∴4-2x=3，得x=；

（3）∵AB⊥BC，NP⊥BC，
∴四边形ABPN为直角梯形，
∴y=×（AB+PN）×BP=（3+x）×（4-x）
=（-x2+x+12）
=-x2+x+6，
∴当x=时，y有最大值．