Question

如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，点F在BC上，CF=1，点M、N分别是x轴、y轴上的动点，则四边形MEFN周长的最小值为    ．

Answer

由于四边形MEFN中，EF的长度为定值，欲求四边形MEFN周长的最小值，即求其它三边之和的最小值，为此，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则线段E′F′的长度就是其它三边之和的最小值．
【解析】
如图，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，点E是AB的中点，点F在BC上，CF=1，
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，
∴BF′=4，BE′=3，
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′==5，
又∵EF===，
∴FN+MN+ME+EF=5+．
此时四边形MNFE的周长的最小值是5+．