Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=B′Q，则点P的坐标为    ．

Answer

连接OB、OQ、OB′，根据旋转变换的性质可得OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，然后利用“边角边”证明△OBP和△OB′Q全等，根据全等三角形对应边相等可得OP=OQ，再根据等腰三角形三线合一可得CP=CQ，然后根据BP=B′Q推出CP=C′P，利用“HL”证明△OCP、△OCQ、△OC′Q全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COP=∠COQ=∠C′OQ，从而求出∠OCP=30°，最后利用∠COP的正切值求出CP的值，然后即可写出点P的坐标．
【解析】
如图，连接OB、OQ、OB′，
∵四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形OA′B′C′，
∴OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，
在△OBP和△OB′Q中，
∵，
∴△OBP≌△OB′Q（SAS），
∴OP=OQ，
∵直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴BC⊥y轴，
∴CP=CQ，
∵BP=B′Q，B′C′=BC，
∴BC-BP=B′C′-B′Q，
即CP=C′Q，
∴CP=CQ=C′Q，
又∵OP=OQ（已证），
∴△OCP≌△OCQ≌△OC′Q（HL），
∴∠COP=∠COQ=∠C′OQ，
∴∠OCP=×90°=30°，
∵C（0，6），
∴OC=6，
PC=OC•tan∠COP=6×=2，
∴点P的坐标为（-2，6）．
故答案为：（-2，6）．