Question

已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（-2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．
（1）抛物线解析式为    ．
（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为    ．

Answer

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．
（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．
①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．
【解析】
（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（-2，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，
将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-（x+2）2+4，
即y=-x2-4x；

（2）∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°；
若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：
①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；
取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：
，解得（舍），
∴点C的坐标为（-，）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、（-，）得：
，解得
∴直线MP：y=x+
联立抛物线的解析式，有：
，解得，
∴点P的坐标（-，）；
②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：
（x+4）2=（x+2）2+（0-4）2，解得：x=1
∴点D（1，0）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、D（1，0）后，有：
，解得：
∴直线MP：y=-x+
联立抛物线的解析式有：
，解得：，
∴点P的坐标（-，）
综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（-，）、（-，）．
故答案：（1）y=-x2-4x；（2）（-，）、（-，）．