Question

如图，面积为39的直角梯形OABC的直角顶点C在x轴上，点C坐标为（，0），AB=，点D是AB边上的一点，且AD：BD=2：3．有一45°的角的顶点E在x轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F（点D、E、F按顺时针排列），连接DF．设CE=x，OF=y．
（1）求点D的坐标及∠AOC的度数；
（2）若点E在x轴正半轴上运动，求y与x的函数关系式；
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作AH⊥OC于H，就可以得出四边形AHCB是矩形，由矩形的性质就可以得出AB=CH，AH=BC，设BC=x，由梯形的面积公式建立方程就可以求出BC的值，就可以求出OH的值，就可以得出∠AOH的值，再根据比例问题就可以求出AD、DB的值就可以得出D的坐标；
（2）分为两种情况，当E在OC上时，连接CD，通过证明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性质可以得出结论，当E在C的右侧上时，如图3，连接CD，证明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性质可以得出结论；
（3）当E在OC上时，如图4，当EM=ED，在△OEF和△CDE中，由△OEF≌△CDE可以得出结论，若DF=DE，则∠EDF=Rt∠，如图5，作EG⊥AB于G，FH⊥AB交BA的延长线于点H，由△DFH≌△EDG可以得出结论，FD=FE，则∠DFE=Rt∠，如图过F作FN⊥OC于点N交直线AB于点H，由△HDF≌△NFE可以得出结论，当E在C的右侧时，如图7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°△DEM不可能是等腰三角形，当E在O的左侧时，如图8，由点D、E、F要按顺时针排列，E在O的左侧不存在．故得出结论．
【解析】
（1）作AH⊥OC于H，设BC=x，
∴四边形AHCB是矩形，∠AHO=90°，
∴AH=BC，AB=HC．
∵AB=，
∴HC=5，．
∵C坐标为（，0），
∴OC=8，
∴OH=3．
∴，
∴x=3．
∴AH=BC=3，
∴OH=AH，
∴∠AOH=45°．
∵AD：BD=2：3．设每份为a，则AD=2a，BD=3a，
∴2a+3a=5，
∴a=，
∴AD=2，BD=3，
∴D（8-3，3）
即，
答：D（5，3），∠AOC=45°；

（2）当E在OC上时，如图2，连接CD，
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF+∠DEC=135°．
∵∠AOE=45°，
∴∠OFE+∠OEF=135°，
∴∠OFE=∠DEC．
∵DB=CB=3，
∴∠DCB=∠BDC=45°，CD=6．
∴∠DCO=45°，
∴∠FOE=∠ECD
∴△OEF∽△CDE
∴，
∴
∴；
当E在C的右侧上时，如图3，连接CD，
∵AB∥OC，
∴∠BDC=∠CEO．
∵∠BDC=∠DEF=45°，
∴∠BDC-∠BDC=∠DEF-∠DEO
即∠CDE=∠OEF，
∵∠FOE=∠DCE=135°，
∴△OEF∽△CDE
∴，
∴，
∴；
（3）当E在OC上时，如图4，
若EF=ED，
∵在△OEF和△CDE中，
，
∴△OEF≌△CDE（AAS）
∴OE=CD=6，，
∴OF=CE=，作FN⊥OC于点N
∴ON=FN=8-3，
∴F；
若DF=DE，则∠EDF=Rt∠，如图5，
作EG⊥AB于G，FH⊥AB交BA的延长线于点H，
∴∠FHA=∠EGD=90°．
∵∠FDH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°，
∴∠FDH=∠DEG．
∵在△DFH和△EDG中，
，
∴△DFH≌△EDG（AAS），
∴，
∴HA=HF=，
∴，

若FD=FE，则∠DFE=Rt∠，如图过F作FN⊥OC于点N交直线
AB于点H，
∴∠AHF=∠FNE=90°．
∵∠DFE=90°，
∴∠HFD=∠NEF．
∵在△HDF和△NFE中
，
∴△HDF≌△NFE（AAS），
∴HD=FN．
设ON=x，则FN=x，FH=，DH=
∴x=，
∴，
∴F
当E在C的右侧时，如图7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°
∴△DEM不可能是等腰三角形
当E在O的左侧时，如图8，
∵点D、E、F按顺时针排列，
∴E在O的左侧不存在．
综合得：F1，F2（2，2），F3．