Question

如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，点E是AB上的动点，CE交BD于点G，EK⊥CE交边AD于点K，交对角线AC于点F．
（1）若AE=BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（2）若AE=2BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（3）若AE=kBE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，请直接写出结论．

Answer

（1）如图1，根据正方形的性质可以求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，由EK⊥CE交边AD于点K可以得出∠KEC=90°，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（2）如图2，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（3）如图3，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．，
【解析】
（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴．
∵AE=BE，
∴，
∴，
∴；
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴EF=EG；

（2）如图2，∵AE=2BE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=；

（3）如图3，∵AE=kBE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=．