Question

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点在正三角形OEF的边上．已知正三角形OEF的边长为2，记AB的长为x．
（1）求F点的坐标及过O、E、F三点的抛物线的解析式．
（2）记点C关于直线OF的对称点为G，问x取什么值时，点G恰好落在y轴上．
（3）在条件（2）下，点P是过O、E、F三点的抛物线上的一个动点P，问是否存在点P，使点P、A、F、G四点构成梯形？如存在，求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点F作FH⊥OE于点H，根据等边三角形的性质求出HO、HF的长度，然后即可写出点F的坐标；再写出点O、E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）方法一根据轴对称性表示出OB的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出BC的长度，得到点C的坐标，然后求出OF与y轴的夹角为30°，再根据对称性可得∠FOC=30°，从而得到OC与x轴的夹角为30°，根据30°角的正切值列式求解即可得到x的值；
方法二：先求出OF与y轴的夹角为30°，再根据轴对称性可得OC与OF的夹角为30°，然后根据等边三角形的性质可得点C是EF的中点，根据三角形的中位线定理可得CD=OE=1，再根据矩形的对边相等即可得解；
（3）根据点C、G关于OF对称可得OG=OC，然后求出点G的坐标，在求出OA的长度得到点A的坐标，然后分①GF∥PA时，点P是抛物线与x轴的交点，即为点O、E的坐标，②GA∥PF时，先求出直线GA的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PF的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；③PG∥FA时，先求出AF的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PG的解析式，与抛物线解析式联立可得方程没有实数解．
【解析】
（1）如图，过点F作FH⊥OE于点H，
∵正三角形OEF的边长为2，
∴OH=×2=1，
FH=2•sin60°=2×=，
∴点F的坐标为F（1，），
又由图形可得，点O（0，0），E（2，0），
设过O、E、F三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则，
解得，
所以，抛物线的解析式y=-x2+2x；

（2）方法一：根据对称性可得OB=OH+AB=1+x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
所以，△FDC∽△FOE，
所以，=，
即=，
解得BC=-x，
所以，点C的坐标为（1+x，-x），
∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∴直线OC与x轴的夹角为30，
tan30°==，
解得x=1；

方法二：∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∵△OEF是等边三角形，
∴点C是EF的中点，
∴CD是△OEF的中位线，
CD=OE=×2=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，即x=1；

（3）存在．
理由如下：由（2）可知，OC=2•sin60°=2×=，
∵点C、G关于OF对称，
∴OG=OC=，
∴点G的坐标为（0，），
由对称性可得，OA=（OE-AB）=（2-1）=，
∴点A的坐标为（，0），
①当GF∥PA 时，∵F（1，），
∴GF∥x轴，
∴点P为抛物线与x轴的交点，
∴P1（0，0），P2（2，0）；
②当GA∥PF时，∵A（，0），G（0，），
∴直线GA的解析式为y=-2x+，
∴设直线PF的解析式为y=-2x+b，
-2×1+b=，
解得b=3，
所以，直线PF的解析式为y=-2x+3，
联立，
解得，
所以，点P的坐标为P3（3，-3）；
③当PG∥AF时，A（，0），F（1，），
设直线AF的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
所以，直线AF的解析式为y=2x-，
所以，设直线PG的解析式为y=2x+，
联立整理得，x2+1=0，
方程没有实数解，
所以，点P不存在，
综上得符合条件的点有3个，P1（0，0），P2（2，0），P3（3，-3）．