Question

受金融危机影响，某小卖部的经营业绩每况愈下，于是该小卖部开始转行经营A产品．小卖部老板做了市场调查发现：A产品进价为每件30元，目前市场售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果售价每涨1元，那么每星期少卖5件．根据目前小卖部的资金实力，每星期进货款不得超过3900元；根据生产厂家的要求，每星期进货量不得少于105件． 设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件，且进货刚好卖完．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？

Answer

（1）依据题意易得出平均每天销售量（y）与涨价x之间的函数关系式为y=150-5x；
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与降价x元之间的函数关系式，再利用二次函数增减性得出最值即可．
【解析】
（1）∵如果售价每涨1元，那么每星期少卖5件，
∴每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为：y=150-5x，
由题意得：，
∴4≤x≤9且x为整数．

（2）设每星期利润为w元，则
w=（150-5x）（40+x-30），
=（150-5x）（10+x）
=-5x2+100x+1500
=-5（x-10）2+2000，
当x＜10，w随x增大而增大，
∵4≤x≤9且为整数，
∴x=9，
Wmax=1995，
答：定价49元时有最大利润1995元．