Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=15cm，点D以2cm/s的速度由点B向点C运动，点E同时以1cm/s的速度由点C向点B运动．当点D运动到点C时，点D、E同时停止运动，以DE为边在BC的上方作等边三角形DEF．设点D的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点F恰好落在AB上？
（2）设△DEF与△ABC重合部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer

（1）首先根据题意求得 BD=2t，CE=t．然后分当点D在点E的右侧时和当点D在点E的左侧时两种情况求得t值即可；
（2）根据题意分当0≤t≤3时和当3＜t≤，且t≠5时两种情况列出有关S于t的函数关系式即可求解．
【解析】
（1）由题意得 BD=2t，CE=t．
①当点D在点E的右侧时（如图1），
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°．
∴∠DFB=∠EDF-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DF=DB=2t．…（2分）
∵BC=CE+ED+DB  即 t+2t+2t=15，
∴t=3．…（3分）
②当点D在点E的左侧时（如图2），
由①得，DE=EF=EB=CB-CE=15-t，BD=2t，
∴DB=2BE，即2t=2（15-t），
∴t=．
综上，当t=3s或s时，点F恰好在AB上．…（5分）
（2）①当0≤t≤3时（如图3），
由（1）得，DE=EF=FD=15-3t=3（5-t），DH=DB=2t，
∴FH=15-3t-2t=15-5t=5（3-t）．…（6分）
∵∠DEF=∠EFD=60°，∠B=30°，
∴∠EGB=180°-∠GEB-∠B=180°-60°-30°=90°．
在Rt△FGH中，
GH=FH•sin60°=，FG=FH•cos60°=．
∴．…（7分）
作FM⊥DE，垂足为M．则FM=EF•sin60°=.，…（8分）
∴S=S△FED-S△FGH=．…（9分）
②由题意知，点D从点B运动到点C所用时间为．当t+2t=15，即t=5时，点D与点E重合．由（1）知，当3＜t≤，且t≠5时，无论点D在点E的左侧还是右侧，△DEF都在△ABC内（如图4）.=．
综上，