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如图,⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥AB于点D、交⊙O于点E,∠C=60°,如果...

如图,⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥AB于点D、交⊙O于点E,∠C=60°,如果⊙O的半径为2,那么OD=   
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连接OA、OB.构造与圆周角∠AOC同弧的圆心角∠AOB、直角三角形AOD.利用圆周角定理(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)求得∠AOB=2∠C=120°;然后根据垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧)求得AD=BD,即OD是等腰三角形的底边AB上的高,然后在直角三角形AOD中由30°所对的直角边是斜边的一半,解得OD的值. 【解析】 连接OA、OB. ∵∠C=60°, ∴∠AOB=2∠C=120°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半); ∵OD⊥AB, ∴AD=BD(垂径定理); 又∵OA=OB, ∴∠AOD=∠BOD=60°; 在直角三角形AOD中,OD=OA(30°所对的直角边是斜边的一半), ∵⊙O的半径为2, ∴OA=2, ∴OD=1. 故答案为:1.
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