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如图,已知抛物线y=(a+2)x2+4ax+a2-1经过坐标原点,交x轴的正半轴...

如图,已知抛物线y=(a+2)x2+4ax+a2-1经过坐标原点,交x轴的正半轴于点D.
(1)求a的值;
(2)设抛物线的顶点为M,利用尺规,在抛物线的对称轴上,作点N,使得△OMN为等腰三角形.若不止一个,则分别记作N1、N2、N3、…;
(3)若点P为抛物线对称轴右侧部分上的一点,过点P作PA⊥x轴于点A,PB∥x轴交抛物线左侧部分于点B,过点B作BC⊥x轴于点C,问:是否存在这样的点P,使得矩形PACB恰好为正方形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)抛物线y=(a+2)x2+4ax+a2-1经过坐标原点,把坐标(0,0)代入抛物线解析式,求出a的值即可; (2)在抛物线的对称轴上作出所有使得△OMN为等腰三角形的N点即可; (3)假如存在,设点P(x,y),分别讨论点P在第一象限和第四象限时,矩形PACB恰好为正方形得PA=PB,得到关于x的一元二次方程,解出x的值即可. 【解析】 (1)∵抛物线y=(a+2)x2+4ax+a2-1经过坐标原点, ∴把(0,0)代入y=(a+2)x2+4ax+a2-1, 解得a=±1, ∵抛物线的对称轴x大于0,经检验,a=1不合题意,舍去;a=-1符合题意, ∴a=-1; (2)∵y=x2-4x=(x-2)2-4 ∴M(2,-4), ∴OM=2, 符合题意的点N共有4个,N1等腰三角形N1OM的顶点,(2,-1.5), N2是等腰三角形N2OM底边上的点,(2,4); N3是等腰三角形OMN3底边上的点,(2,-4-2); N4是等腰三角形OMN4底边上的点,(2,2-4). 如图: (3)设P(x,y). ①当点P在第一象限,如图1, 由题意矩形PACB恰好为正方形,则PB=PA, PA=x2-4x,PB=2(x-2),得 x2-4x=2(x-2), 解得x=3+,x=3-(舍去). ∴P(3+,2+2);                                       ②当点P在第四象限,如图2: 由题意矩形PACB恰好为正方形,则PB=PA, 得4x-x2=2(x-2), 解得x=1+,x=1- (舍去), ∴P(1+,2-2), ∴存在P1(3+,2+2)、P2(1+,2-2),使得矩形PACB恰好为正方形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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