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问题背景 (1)如图,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E...

问题背景
(1)如图,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空:
四边形DBFE的面积S=______,△EFC的面积S1=______,△ADE的面积S2=______
探究发现
(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2
拓展迁移
(3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积.
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(1)四边形DBFE是平行四边形,利用底×高可求面积;△EFC的面积利用底×高的一半计算;△ADE的面积,可以先过点A作AH⊥BC,交DE于G,交BC于H,即AG是△ADE的高,AH是△ABC的高,利用平行线分线段成比例定理的推论,可知△ADE∽△ABC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求AG,再利用三角形的面积公式计算即可; (2)由于DE∥BC,EF∥AB,可知四边形DBFE是▱,同时,利用平行线分线段成比例定理的推论,可知△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,从而易得△ADE∽△EFC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可得S1:S2=a2:b2,由于S1=bh,那么可求S2,从而易求4S1S2,又S=ah,容易证出结论; (3)过点G作GH∥AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形,容易证出△DBE≌△GHF,那么△GHC的面积等于8,再利用(2)中的结论,可求▱DBHG的面积,从而可求△ABC的面积. (1)【解析】 S=6,S1=9,S2=1; (2)证明:∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF, ∴△ADE∽△EFC, ∴, ∵, ∴, ∴, 而S=ah,∴S2=4S1S2; (3)【解析】 过点G作GH∥AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形, ∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH, ∵四边形DEFG为平行四边形, ∴DG=EF, ∴BH=EF ∴BE=HF, ∴△DBE≌△GHF, ∴△GHC的面积为5+3=8, 由(2)得,▱DBHG的面积为, ∴△ABC的面积为2+8+8=18. (说明:未利用(2)中的结论,但正确地求出了△ABC的面积,给2分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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