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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=2x2+的顶点为M,直线y2=x,点P(n...

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=2x2+manfen5.com 满分网的顶点为M,直线y2=x,点P(n,0)为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+manfen5.com 满分网和直线y2=x于点A,点B.
(1)直接写出A,B两点的坐标(用含n的代数式表示);
(2)设线段AB的长为d,求d关于n的函数关系式及d的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为整数且a≠0),对一切实数x恒有x≤y≤2x2+manfen5.com 满分网,求a,b,c的值.
(1)由题意不难看出:点P、A、B三点的横坐标相同,将点P横坐标代入函数y1、y2的解析式中即可确定A、B两点的坐标. (2)首先根据题意画出图形,可看出抛物线y1的图象始终在直线y2的上方,那么线段AB的长可由点A、B的纵坐标差求得,据此求出关于d、n的函数解析式,根据函数的性质先确定出符合题意的n、d值,即可确定点B、P的坐标,点M的坐标易得,根据这四点坐标即可确定线段OB、PM的位置和数量关系. (3)首先将函数解析式代入不等式中,再根据利用函数图象解不等式的方法来求出待定系数的取值范围,最后根据a、b、c都是整数确定它们的值. 【解析】 (1)当x=n时,y1=2n2+,y2=n; ∴A(n,2n2+),B(n,n). (2)d=AB=|yA-yB|=|2n2-n+|. ∴d=|2(n-)2+|=2(n-)2+. ∴当n=时,d取得最小值. 此时,B(,),而M(0,)、P(,0) ∴四边形OMBP是正方形 ∴当d取最小值时,线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图) (3)∵对一切实数x恒有 x≤y≤2x2+, ∴对一切实数x,x≤ax2+bx+c≤2x2+都成立.(a≠0)① 当x=0时,①式化为 0≤c≤. ∴整数c的值为0. 此时,对一切实数x,x≤ax2+bx≤2x2+都成立.(a≠0) 即 对一切实数x均成立. 由②得 ax2+(b-1)x≥0  (a≠0)对一切实数x均成立. ∴ 由⑤得整数b的值为1. 此时由③式得,ax2+x≤2x2+对一切实数x均成立.(a≠0) 即(2-a)x2-x+≥0对一切实数x均成立.(a≠0) 当a=2时,此不等式化为-x+≥0,不满足对一切实数x均成立. 当a≠2时,∵(2-a)x2-x+≥0对一切实数x均成立,(a≠0) ∴ ∴由④,⑥,⑦得 0<a≤1. ∴整数a的值为1. ∴整数a,b,c的值分别为a=1,b=1,c=0.
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考点分析:
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小华在学习中发现如下结论:
如图1,点A,A1,A2在直线l上,当直线l∥BC时,manfen5.com 满分网
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹):
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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