Question

如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=5，tan，E为射线BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC于点F，连接EC，设BE=x，=y．

（1）求BD的长；
（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长．

Answer

（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD=tan，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；
（2）首先利用平行线的性质得出==，进而得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；
（3）分别根据当∠BFD=∠A时，当∠BFD=∠ABD时，利用相似三角形的性质求出BF的长即可．
【解析】
（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan，
∴cos∠ABD==，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；

（2）∵EF∥DC，
∴==，
∵△EFC与△EFB同高，
∴==，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴=（）2=（）2=，
∴y==•=•=-+x（0＜x＜8）；

（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵△BDF与△BDA相似，
①如图2，当∠BFD=∠A时，
则∠ABD=∠FDB，
故AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD=5，
②如图3，当∠BFD=∠ABD时，
∵∠ADB=∠DBC，∠BFD=∠ABD，
∴△ABD∽△DFB，
∴=，
∵∠ABD=∠ADB，∠BFD=∠ABD，
∴∠DBC=∠BFD，
∴DB=DF=8，
∴=，
∴BF=，
综上所述：当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或．