Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；②AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

Answer

点A，B在反比例函数y=的图象上，所以矩形AEOC、矩形BDOF面积相等，由图看出矩形OCKD是它们的公共部分，由此可知S四边形AEDK=S四边形CFBK，根据面积为长×宽，易得AK•DK=BK•CK可知AB∥CD，从而四边形ACDN、BDCM为平行四边形，所以AN=CD=BM．
（1）证明：①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形．
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．（1分）
∵OC=x1，AC=y1，x1•y1=k，
∴S矩形AEOC=OC•AC=x1•y1=k
∵OF=x2，FB=y2，x2•y2=k，
∴S矩形BDOF=OF•FB=x2•y2=k．
∴S矩形AEOC=S矩形BDOF．
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK，S矩形CFBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK，
∴S矩形AEDK=S矩形CFBK．（2分）
②由（1）知：S矩形AEDK=S矩形CFBK．
∴AK•DK=BK•CK．
∴．（4分）
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．（5分）
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（6分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．（7分）
同理BM=CD．
∴AN=BM．（8分）

（2）【解析】
AN与BM仍然相等．（9分）
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC，S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC，
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k，
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF．（10分）
∴AK•DK=BK•CK．
∴．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（11分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．（12分）