Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，AB=5，cos∠OAB=，直线分别与直线AB、x轴、y轴交于点C、D、E．
（1）求证：∠OED=∠OAB；
（2）直线DE上是否存在点P，使△PBE与△AOB相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用题中已知条件求出直线AB的解析式，可知AB与CE是互相垂直的，然后证明∠OED=∠OAB；
（2）分两种情况讨论：①当∠EBP与∠AOB是对应角时；②当∠EBP与∠ABO是对应角时．对应不同情况解出点P的坐标．
【解析】
（1）在Rt△OAB中，∵AB=5，cos∠OAB=，
∴OA=4，OB=3，（1分）
∴=．
令x=0，则y=-1，∴OE=1．
令y=0，则，∴，∴OD=．（2分）
∴=．
∴=（3分）
∵∠EOD=∠AOB=90°，
∴△EOD∽△AOB，
∴∠OED=∠OAB．（4分）

（2）分两种情况：
当∠EBP与∠AOB是对应角时，如图1，
则∠EBP=∠AOB=90°．（5分）
由（1）知，∠OAB=∠OED，OA=BE=4，
∴△BEP≌△AOB，
∴BP=OB=3，（6分）
将x=3代入中，得，
∴点P（3，3）．（7分）
当∠EBP与∠ABO是对应角时，如图2，则∠EBP=∠ABO．（8分）
∵∠OAB=∠OED，∴△EPB∽△AOB．
∵点P和点D都在直线CD上，
∴点C即为点P．（9分）
设直线AB解析式为y=kx+b．
将点A（4，0），点B（0，3）代入y=kx+b中，得，∴，∴，（10分）
∴，∴，∴点P（，）．（11分）