Question

已知在同一直角坐标系中，直线l：y=x-3k+6与y轴交于点P，M是抛物线C：y=x²-2 （k+2）x+8k的顶点．
（1）求证：当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点；
（2）A、B是抛物线c与x轴的两交点，A、B在y轴两侧，且A在B的左边，判断：直线l能经过点B吗？（需写出判断的过程）
（3）在（2）的条件下，是否存在实数k，使△ABP和△ABM的面积相等？如果存在，请求出此时抛物线C的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）列出抛物线的△，用配方法整理得出△＞0即可；
（2）解方程x2-2 （k+2）x+8k=0，得抛物线与x轴两交点的横坐标为4，2k，因为A、B在y轴两侧，且A在B的左边，可知
A（2k，0），B（4，0），将B代入y=x-3k+6中得k=，这与A（2k，0）在y轴左边矛盾，故直线l不可能经过点B；
（3）将抛物线写成顶点式为y=[x-（k+2）]2-（k-2）2，作MH⊥x轴于H，则MH=（k-2）2，已知OP=-3k+6，当S△ABP=S△ABM时，MH=OP，列方程求k即可．
（1）证明：在抛物线C中，
△=4（k+2）2-32k
=4k2-16k+16
=4（k-2）2．
∵当k≠2时，4（k-2）2＞0，
∴方程x2-2（k+2）x+8k=0有两个不相等的实数根．
∴当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点；

（2）【解析】
方程x2-2（k+2）x+8k=0，
得x1=4，x2=2k，
∵点A、B在y轴两侧，且A在B的左边，
∴k＜0，点B（4，0），
把点B（4，0）代入y=x-3k+6，
得k=＞0，与“k＜0”不符，
∴直线l不可能经过点B．

（3）存在．
∵y=x2-2（k+2）x+8k
=[x-（k+2）]2-（k-2）2，
作MH⊥x轴于H，则MH=（k-2）2，
∵k＜0，∴-3k+6＞0，
∴OP=-3k+6，
由S△ABP=S△ABM，得-3k+6=（k-2）2，
解得k1=-1，k2=2（舍去），
∴存在实数k=-1，使得S△ABP=S△ABM，
此时，抛物线C的解析式是y=x2-2x-8．