Question

已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；
（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．
【解析】
（1）直线BE与⊙O相切（1分）
证明：连接OE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
又∵∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE=∠OED，（2分）
∵矩形ABDC，∠A=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠AEB=90°，
∴∠BEO=90°，（3分）
∴直线BE与⊙O相切；

（2）连接EF，
方法1：
∵四边形ABCD是矩形，CD=2，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2，
∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠CBD=，
∴，（4分）
在Rt△AEB中，
∵CD=2，
∴，
∵tan∠CBD=tan∠ABE，
∴，
∴，
∴
∴勾股定理求得，
在Rt△BEO中，∠BEO=90°EO2+EB2=OB2，
设⊙O的半径为r，
则，
∴r=，（5分）
方法2：∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2，
∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠CBD=，
设，则，
∵CD=2，
∴，（4分）
∵tan∠CBD=tan∠ABE，
∴，
∴，
∴
∴E为AD中点．
∵DF为直径，∠FED=90°，
∴EF∥AB，
∴，
∴⊙O的半径为．（5分）