Question

如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠ABC=30°，E为AB上一点，且AE=4cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm²？
（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm²）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？
（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先证明△EAM∽△EBP，进而得到==，然后表示出AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，又可得到AM=tcm，再根据S△EAM=3cm2，可得方程×t×2=3，解方程可得t的值；
（2）梯形和三角形面积公式表示出S△MPQ，进而利用二次函数最值得出即可；
（3）首先根据△PQE的外心恰好在它的一边上，则△PQE为直角三角形，再利用垂直平分线的性质得出即可．
【解析】
（1）如图1，∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△EBP．
∴==，
∵AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，
∴AM=tcm，
过E作EN⊥AD，
∵∠MAE=30°、AE=4cm，
∴EN=AE=2cm，
∵S△EAM=3cm2，
∴×t×2=3，
解得t=6，
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2；

（2）∵AD∥BC，
∴S梯PCDM=72-t，
∵S△PCQ=，S△MQD=，
∴S△MPQ=-t2+t+36，
∴S△MPQ=- （t-2）2+，
当t=2时，S最大值为；

（3）t的值有两个，
如图2，
∵△PQE的外心恰好在它的一边上，
∴△PQE为直角三角形，
由BP=DQ、BC=DC可得PQ∥BD，
若∠EPQ=90°，则可得PE⊥BD （或PE∥AC），
∴BP=BE=8cm，即当t=8s时，∠EPQ=90°．