Question

如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；
（1）求证：S_{四边形ABCD}=AC•BD；
（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？

Answer

（1）把四边形ABCD分成△ABC和△ACD两部分，利用三角形的面积公式列式整理即可得证；
（2）设AC=x，表示出BD，再根据（1）的结论整理，然后利用二次函数的最值问题解答．
（1）证明：∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，
=AC•OB+AC•OD，
=AC（OB+OD）
=AC•BD；

（2）【解析】
设AC=x，∵AC+BD=10，
∴BD=10-x，
∴四边形ABCD的面积=x（10-x）=-（x2-10x）=-（x-5）2+，
∵-＜0，
∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，
此时AC=5，BD=5．