Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l是经过点C的切线，BD⊥l，垂足为D，且AC=8，sin∠ABC=．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）过点A作直线l的垂线，垂足为E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法、证明），并求出四边形ABDE的周长．

Answer

（1）根据OC⊥l，BD⊥l，得出OC∥BD，再利用等边对等角以及平行线的性质得出∠CBD=∠OBC进而得出答案；
（2）以A为圆心大于A到l距离大于为半径画弧，进而得出E点，再利用相似三角形的判定得出△ACB∽△CDB，进而得出BD=3.6，CD=4.8，CE=4.8，AE=6.4，即可得出答案．
（1）证明：如图1，
连接OC，则OC⊥l．
又∵BD⊥l，
∴OC∥BD．
∴∠OCB=∠CBD．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠CBD=∠OBC．
∴BC平分∠ABD．

（2）【解析】
如图2所示：
CE就是所求作的垂线．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC===．
∴AB=10．
∴BC===6．
∵∠CBD=∠OBC，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB．
∴==，
即==．
∴BD=3.6，CD=4.8．
同理可得CE=4.8，AE=6.4．
∴DE=CD+CE=4.8+4.8=9.6．
∴四边形ABDE的周长=AB+DE+BD+AE=10+9.6+3.6+6.4=29.6．