Question

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．

Answer

（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
【解析】
（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；

（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
====，
∴△ABC∽△DEF．

（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．