Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y₁=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y₂=ax²+bx+c，求当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

Answer

（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-；
∴抛物线：y=-x2+x+4．

（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y1=-x-；
由（1）得：y2=-x2+x+4，则：
，
解得：，；
由图可知：当y1＜y2时，-2＜x＜5．

（3）∵S△APE=AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=-x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
-x+b=-x2+x+4，且△=0；
求得：b=，即直线L：y=-x+；
可得点P（，）．
由（2）得：E（5，-），则直线PE：y=-x+9；
则点F（，0），AF=OA+OF=；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．