Question

已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，∠ACD是△ABC的外角，延长EF交∠ACD的平分线于G点，求证：AG⊥CG．

Answer

利用三角形中位线定理推知EF∥BC．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG=FC．又由AF=CF，则FG是△ACG中AC边上的中线，且，故△AGC是直角三角形．
证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AF=CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCD．
∵CG平分∠ACD，
∴∠FCG=∠GCD，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FG=FC．
又∵AF=CF，
∴FG是△ACG中AC边上的中线，且，
∴△AGC是直角三角形，
∴AG⊥CG．