Question

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，若tan∠BPC=，求tan∠AFE的值．

Answer

（1）可通过角的度数来判断三角形APB的形状．由于ABCD是平行四边形，AD∥BC，那么同旁内角∠DAB和∠CBA的和应该是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就应该是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形状．
（2）可通过平行和角平分线，通过等角对等边得出DP=AP，同理可证出PC=BC，根据平行四边形的性质，AD=BC，可得出DP=PC．
（3）由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=∠APB=90°，又AP为角平分线，根据角平分线定义得到一对角相等，根据两对角相等的两三角形相似，得到三角形AEF与三角形APB相似，进而得到对应角相等，又平行四边形的对边AB与DC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到∠AFE与∠BPC相等，即可求出所求∠AFE的正切值．
【解析】
（1）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠ABC+∠DAB）
=×180°=90°，
∴△APB是直角三角形；

（2）∵DC∥AB，
∴∠BAP=∠DPA．
∵∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP
同理证得CP=CB．
∴DP=PC．

（3）∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=∠APB=90°．
∵AP为角平分线，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠ABP，
又ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵tan∠BPC=，
∴tan∠AFE=．